PERHITUNGAN CADANGAN DAN GEOSTATISTIK

1. PENDAHULUAN

Kemajuan dalam teknologi perangkat keras dan lunak komputer saat ini menjadikan media digital sebagai media pilihan untuk penggambaran dan pemetaan. Bila gambar dan peta tersimpan dan tersajikan secara digital menggunakan paket-paket program terapan kelompok CAD ataupun GIS, maka hitungan panjang, luas dan volume dari suatu gambar ataupun peta bisa diperoleh dengan mudah menggunakan program-program yang disediakan. Gambar yang akan dihitung luasnya bisa berupa gambar potongan, gambar kawasan yang dibatasi oleh poligon atau kawasan yang dibatasi oleh garis kontur.

Bila penyimpanan dan penyajian menggunakan media konvensional maka bisa dilakukan hitungan luas cara numeris, grafis, mekanikal-grafis, mekanikal-grafis-digital. Hitungan luas cara grafis sangat dipengaruhi oleh kestabilan media dan ketelitian Gambar Meskipun dalam teknik perhitungan dapat menggunakan penggaris, kertas milimeter block atau planimeter, tetapi untuk pemakaian praktis sekarang ini dianjurkan hitungan panjang, luas dan volume dilakukan secara numeris menggunakan kalkulator berprogram ataupun komputer berprogram.

2. PERHITUNGAN LUAS

2.1 PERHITUNGAN LUAS CARA ANALITIS

Bentuk Dasar Beraturan

- Persegi empat; Bila panjang persegi empat P dan lebar L, maka luasnya L_PE= P x L.

- Segitiga:

· Bila panjang satu sisi b dan tinggi segitiga pada sisi itu = h, maka luas segitiga L_ST = 1/2 bh.

· Bila sudut a diketahui dan sisi pengapitnya b dan c diketahui, maka luas segitiga L_ST = 1/2 bc sin a.

· Bila ketiga sisi segitiga masing-masing a, b dan c diketahui, maka luas segitiga L_ST = (s(s - a)(s - b)(s - c))^1/2 dengan s = 1/2(a + b + c).

- Trapesium; Bila kedua sisi sejajar trapesium b₁ dan b₂ serta tingginya h diketahui, maka luas trapesium L_TRP = 1/2(b₁ + b₂)h

Hasil Bentukan dari Bentuk Dasar Beraturan

- Bentuk turunan trapesium:

§ Cara offset dengan interval tidak tetap: A = 1/2(S₁y₁ + S₂y₂ + S₃y₃ + ... + S_ny_n),dengan S₁ = d₁, S₂ = d₁ + d₂, S₃ = d₂+ d₃, S₄ = d₃ + d₄ dan S₅ = d₄.

Gambar. 1 Hitungan luas cara offset dengan interval tidak tetap.

§ Cara offset dengan interval tetap : A = d {(y₁+y₂)/2 + y₂ + y₃ + ... + y_n-1}, dengan d adalah interval yang sama. Pada gambar di atas, d₁ = d₂ = d₃ = d₄ =d.

Cara offset A = l (h₁ + h₂ + h₃ + ... + h_n) = l S h_i, dengan i = 1 ... n.

Gambar. 2 Hitungan luas cara offset pusat

- Bentuk turunan trapesium dan "parabola"; Trapesium dan parabola sebagai pendekatan bentuk yang dibatasi oleh lengkungan polynomial

§ Cara Simpson 1/3, dua bagian dianggap satu set A = l/3 (y₀ + 4y₁ + y₂)

Gambar. 3 Hitungan luas cara Simpson 1/3.

§ Cara Simpson 1/3 untuk offset ganda berulang A = l/3 {y₀ + y_n + 4(y₂ + y₄ +...+y_n-1) + 2(y₃ + y₅ +...+ y_n-2)}

- Bentuk segi banyak cara koordinat

§ Bila koordinat (X,Y) suatu segi banyak diketahui, maka luasnya adalah A = 1/2 S X(Y₊₁ - Y_i-1) atau A = 1/2 S Y_i(X_i-1 - X_i+1).

Gambar. 4 Hitungan luas cara koordinat.

- Bentuk tanah asli beraturan:

Luas dihitung menggunakan rumus "typical" pada bentuk yang beraturan tersebut.

Contoh: Luas galian pada potongan yang ditunjukkan pada gambar berikut adalah
A = h(W + r₁h)

Gambar. 5 Luas galian pada bentuk tanah asli beraturan.

- Bentuk tanah asli tidak beraturan.

Hitungan luas berdasarkan potongan lintang pada bentuk tanah asli tidak beraturan menggunakan cara koordinat. Koordinat perpotongan typical cross sections dengan tanah asli harus dihitung.

2.2 Perhitungan Luas Cara Grafis

- Cara kisi-kisi: bagian yang akan ditentukan luasnya "dirajah" dengan menempatkan kisi-kisi transparan dengan ukuran tertentu di atasnya. Luas = jumlah kelipatan kisi-kisi satuan.

Gambar. 6 Hitungan luas cara grafis kisi-kisi.

- Cara lajur; bagian yang akan ditentukan luasnya "dirajah" dengan menempatkan lajur-lajur transparan dengan ukuran tertentu di atasnya. Luas setiap lajur = dl, bila d adalah lebar lajur dan l panjang lajur.

Gambar. 7 Hitungan luas cara grafis lajur

2.3 Perhitungan Luas Cara Mekanis - Grafis

Luas gambar diukur dengan menelusuri batas tepinya menggunakan pelacak pada alat planimeter. Luas kawasan yang diukur diperoleh dengan mengalikan bacaan manual luas planimeter dikalikan dengan skala gambar pada planimeter digital, bacaan luas planimeter secara digital direkam dan sisajikan langsung oleh alat.

3. PERHITUNGAN VOLUME

Cara Potongan Melintang

Ø Cara potongan melintang rata-rata; Bila A₁ dan A₂ merupakan luas dua buah penampang yang berjarak L, maka volume yang dibatasi oleh kedua penampang ini: V = 1/2(A₁ + A₂) L

Gambar. 8 Volume cara potongan melintang rata-rata.

Ø Cara jarak rata-rata dari penampang: V = 1/2(L₁ + L₂) A_o.

Gambar. 9 Volume cara jarak rata-rata

Ø Cara Prisma dan Piramida Kotak

§ Cara prisma ; V = h/6(A₁ + 4 A_m + A₂)

Gambar. 10 Volume cara prisma.

§ Cara piramida kotak V = h/3{A₁ + (A₁A₂)^1/2 + A₂}

Gambar. 11 Volume cara piramida kotak

Ø Cara Ketinggian Sama

§ Cara dasar ketinggian sama areal bujur sangkar

V = A/4( h₁ + 2 S h₂ + 3 S h₃ + 4 S h₄)

h_I = ketinggian titik-titik yang digunakan i kali dalam hitungan volume

Gambar. 12 Volume cara dasar sama – bujur sangkar.

Contoh, lihat Gambar XYZ. Titik-titik berurutan dari pojok kiri atas ke kanan terus ke bawah masing-masing digunakan dalam hitungan bujur sangkar: 1, 2, 2, 2, 1; 2, 4, 4, 3, 1 dan 1, 2, 2, 1 kali. Contoh hitungan (Volume tinggi sama basis bujur sangkar).

§ Cara dasar ketinggian sama areal segitiga

V = A/3(h₁ + 2S h₂ + 3S h₃ + 4S h₄ + 5S h₅ + 6S h₆ + 7S h₇ + 8S h₈)

h_I = ketinggian titik-titik yang digunakan i kali dalam hitungan volume.

Pelaksanaan hitungan menggunakan cara sama dengan cara bujur sangkar

Gambar. 13 Volume cara dasar sama – segitiga,

Ø Cara Garis Kontur:

Gambar. 14 Volume cara kontur

§ Cara garis kontur dengan rumus prisma;

V = h/3{ A_o + A_n + 4SA₂_r₊₁ + 2SA₂_r }

r pada 2r + 1 berselang 0 <= r <= 1/2(n - 2),

r pada 2r berselang 0 <= r <= 1/2(n - 2).

Untuk n = 2 diperoleh r = 0, sehingga V = h/3(A_o + A₂ + 4A₁) = h/3(A_o + 4A₁ + A₂).
Bila n adalah ganjil, bagian yang terakhir dihitung dengan cara piramida kotak atau cara rerata luas penampang awal dan akhir.

§ Cara garis kontur rumus piramida kotak;

V = h/3{ A_o + A_n + 2SA_r + S(A_r-1A_r)^1/2 }

r pada 2SAr berselang 1 £ r £ n - 1,

r pada S(Ar-1Ar)1/2 berselang 1 £ r £ n.

Untuk n = 1 diperoleh V = h/3{A₀ + A₁ + (A₀A₁)_1/2}

V = h/3{ A₀ + (A₀A₁)1/2 + A₁ }

Cara garis kontur dengan luas rata-rata; V = h/2 { Ao + An + 2S Ar }

r bernilai 1 £ r £ n - 1.

Untuk n = 1 diperoleh V = h/2 ( A₀ + A₁ )

4. GEOSTATISTIK (STATISTIKA SPASIAL)

Geostatistik merupakan cabang daripada statistik terapan yang dibantu dengan deskripsi matematik dan analisa (observasi) geologi. Pada dasarnya geostatistik dapat digunakan dapat digunakan untuk estimasi dan penelaahan variabel, faktor atau keadaan yang ada kaitannya dengan ilmu kebumian.

Variogram atau semivariogram merupakan alat utama dalam perhitungan melalui geostatistik, selain itu dapat juga untuk mengukur variansi (mean squarred error) dalam estimasi nilai Z(x+h) dengan Z(x). Jika sampel pada posisi x+h nilainya sama dengan sampel pada posisi x, maka kesalahan adalah Z(x) – Z(x+h), yang kuadrat rata-ratanya bernilai 2g(h). Persamaan semivariogram eksperimentalnya adalah ;

Model variogram eksperimental yaitu variogram yang diperoleh dengan memasukkan nilai sampel dalam rumus variogram merupakan realisasi daripada sifat-sifat spasial dari regionalized variabel. Hal ini dilakukan agar variogram tersebut dapat digunakan untuk alat estimasi nilai suatu dimensi yang lebih besar daripada ukuran sampel sehingga perlu adanya model teoritis yang cocok dengan realisasi sifat – sifat spasial berkaitan dengan regionalized variabel yang sedikit memperlihatkan keadaan statis.

Variogram yaitu representasi hubungan antar data secara spasial (ruang) pada suatu arah tertentu. Di mana dapat dirumuskan dalam rumus umum di bawah ini ;

Di mana :

g(h) : nilai variogram untuk arah tertentu dan jarak h

h : 1d, 2d, 3d, 4d, (d=jarak k antar conto)

z(x_i) : harga (data) pada titik x_i

z(x_i+h) : data pada titik yang berjarak h dari xi

N(h) : jumlah pasangan data

4.1 Metoda Seperjarak (Invers Distance Method)

Metode matematik banyak diterapkan pada tahap awal evaluasi mineral deposit. Metode dan teknik perhitungan dipengaruhi oleh kondisi geologi lokal, metode penambangan dan lain sebagainya. Metode yang diterapkan, dalam praktek yang sebenarnya selalu sesuai dengan teori yang diberikan. Salah satu metode perhitungan tersebut adalah metode Invers Distance.

Prinsip penaksiran metode Invers Distance adalah dilakukan teknik pembobotan titik data yang didasarkan pada:

- letak grid atau blok yang akan ditaksir terhadap letak data conto

- kecenderungan penyebaran data kualitas

- orientasi setiap conto yang menunjukkan hubungan letak ruang antar conto

Pemecahan masalah dalam metode bijih ini dengan metode yang didasari pada jarak sample satu dengan sample lainnya dalam satu blok. Umumnya pembobotan jarak dengan metode menurut sample yang ditampilkan dan cara penerapannya:

Invers distance
Invers distance squared
Invers distance cubed

Rumus umum Invers distance:

persamaan pembobotannya :

faktor pembobotan :

Invers distance squared

persamaan pembobotannya :

faktor pembobotan :

Invers distance cubed

persamaan pembobotannya :

faktor pembobotan :

Perinciannya adalah sebagai berikut :

Sudut perubah yang maksimum
Dimensi ruang sesuai dengan pola penyelidikan yaitu :

- Square

- Circle

- Rectangle

- Ellips

§ Jika titik sample nyatanya terdapat pada tengah-tengah blok maka diperkirakan keadaan ini d=0, menyebabkan nilai d kecil yaitu 1 m.

§ Hal yang mencirikan titik minimum dalam ruang maka diijinkan untuk melakukan interpolasi

§ Jika jumlah titik tersebut tidak cukup memadai maka penyelidikannya diperluas hingga jumlahnya cukup memadai ruang tersebut. Contoh untuk perluasan bentuk rectangle dengan perluasan 25% panjang dan lebar

Pada metode invers distance :

- Memperhitungkan adanya hubungan letak ruang (jarak).

- Merupakan kombinasi linier atau harga rata-rata tertimbang (weighting average) dari titik-titik data yang ada di sekitarnya.

- Pada titik data yang terdekat dengan titik yang ditaksir akan memberikan bobot yang lebih besar daripada titik data yang lebih jauh.

- Efek penghalusan (pemerataan) dilakukan dengan faktor pangkat.

- Pada pangkat yang sangat besar akan menghasilkan pendekatan metode poligon.

- Pangkat semakin besar maka bobot (pengaruh) dari titik terdekat semakin besar pula.

Kelemahan :

- Tidak ada hubungan antara jarak dan range a pada variogram.

- Pada deposit irregular dengan range kecil akan diperlakukan sama dengan pada deposit reguler dengan luas a.

- Jika titik referensi adalah lubang bor, kemudian faktor pembobotan tak berhingga, maka metode ini tidak dapat diterapkan.

- Metode ini didasarkan pada estimasi titik dan tidak bergantung pada ukuran blok.

- Invers Distance hanya memperhatikan jarak dan belum memperhatikan efek pengelompokan data.

- Sehingga data dengan jarak yang sama namun mempunyai pola sebaran yang berbeda masih akan memberikan hasil yang sama.

- Metode ini belum memberikan korelasi ruang antara titik data dengan titik data yang lain.

4.2 Kriging

Kriging yaitu suatu teknik perhitungan untuk estimasi atau simulasi dari suatu variabel terregional (regionalized variable) yang memakai pendekatan bahwa data yang dianalisis dianggap sebagai suatu realisasi dari suatu variabel acak (random variable), dan keseluruhan variable acak dalam daerah yang dianalisis tersebut akan membentuk suatu fungsi acak dengan menggunakan model struktural variogram atau kovariogram (Dr. Ir. Rukmana Nugraha Adhi, 1998).

Kriging adalah penaksiran geostatistik linier tak bias yang paling bagus untuk mengestimasi kadar blok karena menghasilkan varians estimasi minimum ® BLUE (Best Linier Unbiased Estimator). (Dr. Ir. Totok Darijanto, 2003). Kriging diambil dari nama seorang pakar geostatistik dari Afrika Selatan yaitu D.G Krige yang telah banyak memikirkan hal tersebut sejak tahun 50an.

Secara sederhana, kriging menghasilkan bobot sesuai dengan geometri dan sifat mineralisasi yang dinyatakan dalam variogram. Bobot yang diperoleh dari persamaan kriging tidak ada hubungannya secara langsung dengan kadar conto yang digunakan dalam penaksiran. Bobot ini hanya tergantung pada konfigurasi conto di sekitar blok serta model variogramnya.

Nilai estimasi (1) dan variabel estimasi kriging (2) yang ditentukan dengan metoda geostatistik untuk suatu variabel terregional disetiap support V adalah sebagai berikut (Gambar 1) ;

a). Blok Teratur

b). Blok Tidak Teratur

Gambar. 15 Perhitungan Metoda Geostatistik dengan support suatu blok

dan ai ditentukan dari perkalian matrik pada persamaan kriging (3, 4, 5, 6). Persamaan Kriging (3)

Dari persamaan kriging tersebut, menjadi perkalian matriks sebagai berikut ;

[Matriks G].[Matriks A] = [Matriks M]…………… (5)

[A] = [G]^-1 [M]……………(6)

di mana ;

Z* : nilai estimasi kriging di blok V

X₁,X₂….X₆ : posisi data pengamatan / pemboran

Z(xi) : nilai data pengamatan/pemboran di xi

ai : besaran bobot dari data yang berada di koordinat (xi, yi) untuk estimasi blok

s_k² : Varians estimasi kriging

`g(xi,V) : Variogram rata-rata dari data yang berada di koordinat (xi,yi) ke blok V

`g(V,V) : Variogram rata – rata dari blok V

V : blok estimasi = ABCDE

m : koefisien Lagrange

Perhitungan dengan metoda kriging ini kadang-kadang terlalu kompleks untuk suatu komoditi tertentu. Hal ini sangat bermanfaat jika dilakukan pada penentuan cadangan-cadangan yang mineable dengan kadar-kadar di atas cut off grade.

Sebagai conto hubungan antara analisa conto dengan harga analisa blok bijih (harga sebenarnya) yang terpencar membentuk elips (Gambar. 16) kemudian tarik garis regsresi melalui titik 0 dan titik (Ž,ž), selanjutnya bagi elips tersebut dengan cut off grade z_c = Z_c = 5 % menjadi empat bagian.

Gambar. 16 Pencaran data antara kadar conto vs. kadar blok yang memperlihatkan kesalahan penambangan

Daerah 1 Semua blok dengan kadar > cog yang sesuai dengan kadar conto > cog ditambang

Daerah 2 Semua blok dengan kadar < cog yang sesuai dengan kadar conto < cog ditambang

Daerah 3 Semua blok dengan kadar < cog yang sesuai dengan kadar conto > cog ditambang

Daerah 4 Semua blok dengan kadar > cog yang sesuai dengan kadar conto < cog ditambang

Jika garis regresi B – B’ yang menunjukkan hubungan antara conto dan kadar blok diplot, maka blok – blok dengan kadar 5% juga akan ditambang walaupun kadar conto kadar 3,5% (Gambar. 16). Daerah 4 pada Gambar 1 yang baik tertambang karena kesalahan informasi menjadi kecil, sementara itu daerah 3 yang ditambang walaupun berkadar rendah menjadi lebih besar, walaupun demikian secara keseluruhan daerah dengan blok-blok yang mempunyai kadar > cut off grade (5%) dan ditambang menjadi lebih besar.

Berdasarkan analisis variogram, Matheron memberikan koreksi perkiraan kadar pada suatu blok yang tidak hanya dipengaruhi oleh conto di dalam blok saja, tetapi juga pada conto – conto disekitarnya.

Gambar. 17 Perubahan bentuk elips pencaran data akibat koreksi dengan metoda kriging

Melalui koreksi ini bentuk elips akan lebih kurus/sempit dengan batas-batasnya mendeteksi garis regresi yang membentuk sudut 45⁰. Jumlah conto dan pasangan bloknya pada daerah 3 dan daerah 4 yang menyatakan kadar rendah ditambang atau kadar tinggi tidak ditambang akan berkurang.

4.3 Metoda Perhitungan Cadangan Batubara

Metoda penampang (cross-section) masih sering dilakukan pada tahap awal. Penaksiran secara manual ini dipakai sebagai pembanding untuk mengecek hasil penaksiran menggunakan komputer. Rumus yang dapat digunakan dalam perhitungan luas rata-rata (mean area) dipakai untuk endapan yang mempunyai penampang yang uniform.

Rumus Mean Area

Di mana ;

S₁ : luas penampang 1

S₂ : luas penampang 2

L : jarak antar penampang

V : Volume Cadangan

Rumus Prismoidal

Di mana ;

S₁S₂ : luas penampang 1 & 2

M : luas penampang tengah

L : jarak antar penampang S₁ dan S₂

V : Volume Cadangan

Daftar Pustaka

1. Badan Standardisasi Nasional, 1998, Standar Klasifikasi Sumber Daya Mineral dan Cadangan, SNI No. 13-4726-1998.

2. Badan Standardisasi Nasional, 1998, Standar Klasifikasi Sumber Daya dan Cadangan Batubara, SNI No. 13-5014-1998.

3. Evans, A.M., Editor, 1995, Introduction to Mineral Exploration, Blackwell Science, Ltd.

4. Machali Muchsin, A., 1999, Klasifikasi Sumber Daya Mineral dan Cadangan. Naskah/ bahan kuliah disampaikan dalam Kursus Pembinaan dan Pengawasan Eksplorasi, diselenggarakan oleh Pusat Pengembangan Tenaga Pertambangan (PPTP) Tanggal 26 Agustus sampai dengan 24 September 1999.

5. McKinstry, H.E., 1962, Mining Geology, Prentice Hall Inc., Modern Asia Edition.

6. Peters, W.C., 1978, Exploration and Mining Geology, John Wiley & Sons, New York.

7. Reedman, J.H., 1979, Techniques in Mineral Exploration, Applied Science Publisher, London.

8. The Resources and Reserves Committee, 1999, Guide for Reporting Exploration Information, Resources and Reserves, (Submitted to The Board of Directors of The Society of Mining, Metallurgy and Exploration Inc.), 17 pp.

9. Dr. Ir. Totok Darijanto, “Diktat Kuliah Geostatistik”, Jurusan Teknik Pertambangan, ITB, 1999.

10. Dr. Ir. Totok Darijanto, Modul Diklat, “Penaksiran Sumberdaya Mineral”, 2003

11. Dr. Ir. Rukmana Nugraha Adhi, “Geostatistik”, Kursus Eksplorasi Batubara bagi Sarjana Baru dan Mahasiswa Tingkat Akhir Jurusan Geologi dan Pertambangan, 1998

12. Anik Hilyah, “Makalah Perhitungan Cadangan dengan Invers Distance Method”, Bidang Khusus Eksplorasi Sumber Daya Bumi, ITB, 2004

Bursa Tambang

Thursday, March 23, 2017